Summer Trip to Scotland

I made a summer trip to Scotland last year with a group of people. We made about 9 bike trips across Scotland. Here you can see a map of all our trips. You can see all my photos in my Flickr album.

The first trip was from Tinwald through Ae Forrest to Beattock. This locality is known for a lot of winter power plants, which have been built there recently.

Ae

Another beautiful place was Queen Elizabeth Forest Park.

Queen Elizabeth Forest Park

Scotland has a lot of very stylish stone churches. This one is in Kilmarnock.

The Church of Kilmaronock

Dvouvýběrový t-test

V minulém článku jsme otevřeli problematiku dvouvýběrových testů, tj. testů, které mezi sebou porovnávají dva statistické soubory. Konstatovali jsme, že existují tři varianty testu a každý má určené předpoklady, při kterých jej lze použít. Nyní se budeme zabývat situací, kdy máme dva soubory, přičemž pozorování z obou souborů nelze spárovat. Soubory tedy mohou mít i odlišný počet pozorování. Předpokládáme však, že soubory mají shodné rozptyly. V takovém případě použijeme dvouvýběrový t-test, někdy též označovaný jako dvouvýběrový Studentův test.

Soubor se všemi výpočty naleznete zde.

Levostranný dvouvýběrový t-test

Abychom si přesně ukázali odlišnost od párového t-testu, vyjdeme ze zadání podobného tomu minulému: Máme data o průměrném počtu vyrobených výrobků pracovníky ve dvou různých závodech, přičemž v jednom ze závodů jsou testovány nové výrobní procesy. Vedení společnosti potřebuje ověřit, zda nové výrobní postupy zvýšily produktivitu práce, a v závislosti na tom implementuje tyto postupy v dalších závodech. Ověřte na \alpha = 5 % hypotézu, že v závodě s novými výrobními postupy vyrobí pracovníci v průměru více výrobků, než v závodě s původními postupy, přičemž předpokládáme, že rozptyl průměrného počtu výrobků je v obou závodech stejný. Vedení v minulosti statisticky ověřilo, že před změnou procesů byli pracovníci v obou závodech v průměru stejně výkonní.

Protože porovnáváme dva různé závody, nemůžeme pozorování nijak spárovat. Naopak předpokládáme shodný rozptyl hodnot, proto můžeme použít dvouvýběrový t-test.

Soubor X_1 obsahuje pozorování ze závodu se starými postupy a soubor X_2 pozorování ze závodu s upravenými postupy. Příslušné střední hodnoty pak označíme \mu_{X_1}\mu_{X_2}. Nyní můžeme formulovat nulovou a alternativní hypotézu:

  • H_0: \mu_{X_1} = \mu_{X_2} \, . (Střední hodnota obou souborů je stejná.)
  • H_1: \mu_{X_1} < \mu_{X_2} \, . (Střední hodnota prvního souboru je nižší.)

Alternativní hypotéza nám tedy říká, že pracovníci vyrábějící podle nových postupů jsou v průměru výkonnější.

Definujme si statistiku testu T jako

T = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{s_p \cdot \sqrt{\frac{1}{n1} + \frac{1}{n2}}} \, ,

kde n_1n_2 jsou rozsahy obou souborů a s_p určíme ze vzorce

s_p = \frac{(n_1 - 1)s^2_{X_1} + (n_2 - 1)s^2_{X_2}}{n_1 + n_2 - 2} \, ,

kde s^2_{X_1}s^2_{X_2} jsou výběrové rozptyly obou souborů. Statistika T má samozřejmě Studentovo rozdělení a kritický obor určíme ze vztahu

W = ( - \infty,  t_{\alpha} (n_1 + n_2 - 2) \rangle \, ,

Dvouvýběrový t-test můžeme v Excelu opět provést několika způsoby:

  • použitím doplňku Analýza dat,
  • použitím funkce T.TEST (nebo TTEST),
  • použitím funkcí pro kvantilovou a distribuční funkci Studentova rozdělení.

Modelová data najdete na obrázku níže, rozsah dat je n_1 = 40 n_2 = 30.

dvouvýběrový t-test data

Výpočet s využitím doplňku Analýza dat

Začneme s využitím doplňku Analýza dat. Ten spustíme kliknutím na tlačítko Analýza dat na panelu Data. Vybereme možnost Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů. Do políček 1. soubor a 2. soubor označíme umístění našich souborů. Pokud označíme i záhlaví tabulky, zaškrtneme možnost Popisky. V poli Alfa necháme výchozí hodnotu 0,05 a do pole Výstupní oblast vložíme hranici oblasti, do které budou vloženy výsledky.

dvouvýběrový t-test analýza dat

Výsledky pro naše data jsou na obrázku níže. Hodnota statistiky je pro oba typy testu stejná a najdeme ji v řádku t Stat, v našem případě tedy T = -2{,}8239. Při jednostranném testu nás dále zajímají řádky, které jsou označeny (1).

dvouvýběrový t-test analýza dat 2

Řádek P(T<=t) (1) obsahuje p-hodnotu testu. Opět ale platí, že na tuto hodnotu si musíme dát pozor, protože nemusí vždy odpovídat našemu zadání. V doplňku totiž neurčujeme alternativní hypotézu. Excel vrací tu ze dvou možných p-hodnot, která je menší než 0,5. V našem případě (a obecně v případě záporné hodnoty statistiky, resp. v případě vyšší hodnoty průměru prvního souboru) Excel vrací p-hodnotu pro levostranný t-test, což odpovídá našemu zadání. p-hodnota testu je tedy T = 0{,}0031. V posledním označeném řádku nalezneme hranici kritického oboru. Opět platí, že hranice je zobrazena v absolutní hodnotě. V našem případě máme levostranný test, odsekáváme tedy rozdělení statistiky zleva. Protože Studentovo rozdělení je symetrické kolem nuly, stačí k zobrazené hodnotě připsat minus, tj. kritický obor se nachází v intervalu:

W = ( - \infty,  - 1,6676 \rangle \, .

The Beginning of Spring on Chlum Mountain

We had very sunny (but a little cold) weather last weekend. Here you can see some photos from Chlum Mountain (651 meters) that I took. Maybe you will like it.

Here you can see Manětín Brook. You can also check my photos from The Valley of the Manětín Brook from last year.

DSC04308

This used to be a nice log cabin. Unfortunately, it has been damaged. I do not know when or by whom.

DSC04313

DSC04318

Proč se ti nejhorší dostávají nahoru

Pokud bychom měli z tohoto desetiletí vybrat data, která se zapíší do učebnic historie, jedním z nich by nepochybně byl 8. listopad 2016. Ten den byl celý svět v šoku z výsledků prezidentských voleb v USA, ve kterých, oproti očekávání většiny lidí, zvítězil Donald Trump. Komentátoři a nejrůznější analytici začali pátrat po těch, co za to můžou. Mediální mainstream si pak bryskně adaptoval vysvětlení, že za zvolení Trumpa můžou chudí, nevzdělaní a frustrovaní lidé z převážně venkovských oblastí. Tento teorém se již “osvědčil” jako vysvětlení výsledku referenda o Brexitu z června toho samého roku. Ani ne o měsíc později městští liberálové s vypětím všech sil těsně přehlasovali nevzdělané rakouské důchodce a dosadili do prezidentského úřadu Alexandera Van der Bellena namísto Norberta Hofera. Obdobné “analýzy” pak byly předkládány i při parlamentních volbách v Nizozemí a v Německu či prezidentských volbách ve Francii. Naposledy jsme měli možnost sledovat obdobné rozbory v přímém přenosu při prezidentských volbách v České republice.

Nejde samozřejmě o to, že by vysvětlení tohoto typu byla fakticky nesprávná. Mezi jednotlivými socioekonomickými či demografickými skupinami existují statisticky významné rozdíly v jejich volbě.1 Problémem těchto analýz je jejich neúplnost a neschopnost (či neochota) ponořit se do problému hlouběji a dopracovat se tak k hypotéze, že namísto systematického selhávání určitých omezených skupin voličů dochází k selhávání demokratického systému jako celku. Dávají naději, že je možné tyto skupiny nějakým způsobem řádně “dovzdělat” nebo “napravit”, aby hlasovaly správně. Tato naděje je jednak marná a navíc i v případě nějakého zázračného úspěchu není zdaleka jisté, že by politici zvolení těmito převychovanými voliči dosahovali vyšších morálních kvalit nebo dokonce že by se jejich zvolením zvýšila kvalita života většiny společnosti.

Hypotézu systematického selhávání demokratického mechanismu bychom měli připustit k analýze už jen na základě několika protipříkladů z komunální politiky. Nebyli to nevzdělaní vesničtí důchodci, kteří zvolili Pavla Béma či Adrianu Krnáčovou pražskými primátory. Nebyli to chudí sedláci, kteří zvolili vedení Plzně, které stálo za předraženým Novým divadlem, depem pro dopravní podnik a dalšími problematickými projekty.

F. A. Hayek, ve své nejznámější knize Cesta do otroctví v kapitole Proč se ti nejhorší dostávají nahoru, hledá fundamentální příčiny tohoto jevu.

… čím jsou jednotliví lidé vzdělanější a inteligentnější, tím více se jejich názory a záliby liší, a tím hůře se dokážou shodnout na jedné konkrétní stupnici hodnoty. Následkem toho, chceme-li dosáhnout vyššího stupně uniformity a podobnosti postojů, musíme sestoupit do sféry nižších mravních a intelektuálních měřítek, kde převažují primitivní a “obyčejné” pudy a záliby. To neznamená, že většina lidí má nízká morální měřítka; chce se tím říci pouze to, že největší skupina lidí vyznávajících velmi podobné hodnoty obsahuje lidi s nízkými měřítky. […] Je-li zapotřebí početná skupina, dost silná, aby dokázala ostatním vnutit své názory a životní hodnoty, nebudou to nikdy lidé s vysoce různorodými a rozvinutými zálibami – ale spíše ti, kteří tvoří “masy” v pejorativním slova smyslu, ti nejméně originální a nezávislí, kteří vahou svého množství dokážou prosadit konkrétní ideály.2

Samozřejmě důsledky vlády vygenerované touto “masou”, jí vnucované hodnoty a metody tohoto vnucování jsou proměnnou, která se mění v místě i čase. Dnešní evropská civilizace je poučená krutostí světových válek i řady komunistických i nacionalistických diktatur. To ale nic nemění na faktu, že taková tendence ve společnosti stále existuje.

Hayek jde ve svých úvahách dále a překládá další, ještě zásadnější argument.

K lidské povaze zřejmě neodmyslitelně patří, že se lidé dokážou shodnout spíše na negativním programu – na nenávisti k nepříteli, závisti vůči těm, kdo jsou na tom lépe než oni – než na jakémkoli pozitivním úkolu. Kontrast mezi “my” a “oni”, společný boj proti těm, kdo se nacházejí vně skupiny, se zdá být základní složkou každého vyznání, které pevně spojuje skupinu lidí ke společnému jednání. Využívají ho proto vždycky ti, kterým jde nejen o podporu určité politiky, ale o bezvýhradnou loajalitu početných mas. Z jejich hlediska je totiž tento postoj nesmírně výhodný v tom, že jim dává větší svobodu jednání než jakýkoli pozitivní program.3

Polovina voličů Jiřího Drahoše ve skutečnosti nevolila Jiřího Drahoše, ale hlasovala proti Miloši Zemanovi.4 Jiří Drahoš se obratně stylizoval do role antiZemana ve snaze právě tyto voliče přitáhnout. Tuto strategii dělily od úspěchu jen necelé dva procentní body.

Pro další příklady negativní kampaně nemusíme chodit daleko, stačí se podívat na chování politických stran v poslední době. Vrcholní představitelé sociální demokracie označili živnostníky za parazity, protože mají nižší daně (resp. pojisné) ve srovnání se zaměstnanci.5 Jasná snaha o vyvolání závisti či pocitu nespravedlnosti v těch, kteří musejí platit více. Jako by bylo nespravedlivé, že stát bere někomu méně a někomu více a nikoli to, že stát bere všem hodně. Andreji Babišovi se podařilo tuto vzájemnou nevraživost implementovat přímo do konkrétní vládní politiky – zavedení Elektronické evidence tržeb. Ta se stala populární díky silně přestřelenému slibu zvýšení daňových výnosů.6

TOP 09 naopak neustále útočila na Andreje Babiše a ty, kteří mají na současnou podobu evropské integrace odlišný názor, jsou pod vlivem dezinformací generovaných ruskými hackery. SPD vytěžila na maximum obavy voličů z nelegální migrace. A vůči komu všemu hýřila negativními konotacemi KSČM, není v mých silách sledovat.7 Negativní kampaň, zaměřená proti sousedovi nebo proti nějaké skupině obyvatel, prostě funguje.

Podobně jako Hayek smýšlí i další ekonom Rakouské školy Hans-Hermann Hoppe. Ve svém článku Why Bad Men Rule přináší nové argumenty, které stojí na zmínku. Je objektivně platnou skutečností, že demokracie umožňuje volný vstup do politické soutěže prakticky komukoli. Ačkoli je to všeobecně vnímáno jako jedna z jejích větších výhod, Hoppe v tom vidí nebezpečí.

Free entry and competition in the production of goods is good, but free competition in the production of bads is not. Free entry into the business of torturing and killing innocents, or free competition in counterfeiting or swindling, for instance, is not good; it is worse than bad. So what sort of “business” is government? Answer: it is not a customary producer of goods sold to voluntary consumers. […] Since man is as man is, in every society people who covet others’ property exist. Some people are more afflicted by this sentiment than others, but individuals usually learn not to act on such feelings or even feel ashamed for entertaining them. Generally only a few individuals are unable to successfully suppress their desire for others’ property, and they are treated as criminals by their fellow men and repressed by the threat of physical punishment.8

Hoppe coby monarchista upozorňuje na fakt, že zatímco v monarchii může přerozdělovat cizí majetek ve svůj prospěch pouze panovník, demokracie otevírá tuto možnost pro každého. Ač zůstává platná Friedmanova teze o neexistenci oběda zdarma, demokracie může donutit za něčí oběd zaplatit někoho jiného. Umožňuje jedněm legalizovat a realizovat jejich touhy k ovládání života ostatních. V případě úspěchu v demokratických volbách jim dává zdání legitimity jejich činů a morální nadřazenosti jejich názorů. A konečně umožňuje celý systém financovat prostřednictvím daní. A tyto možnosti jsou právě důvodem, proč politické funkce přitahují všemožné kolektivisty, socialisty a jedince, kteří mají na mysli vše možné, jen ne svobodu ostatních.

… subject to mass elections, those members of society with little or no inhibitions against taking another man’s property, that is, habitual a-moralists who are most talented in assembling majorities from a multitude of morally uninhibited and mutually incompatible popular demands (efficient demagogues) will tend to gain entrance in and rise to the top of government. Hence, a bad situation becomes even worse.9

Lidé, kteří si chtějí žít svůj vlastní život, nestarat se o zájmy ostatních a svobodně obchodovat pouze s plody jejich vlastní práce, mají mnohem menší motivaci do politiky (minimálně ve vyšší než komunální úrovni) vstupovat. K tomu totiž politiku vůbec nepotřebují. Jejich jedinou motivací může být to, že jim úroveň zdanění a regulací společnosti připadá až příliš vysoká a chtějí tento negativní trend zvrátit, případně alespoň omezit.

Nečekejme na politiky, kteří budou řídit společnost dle svého nejlepšího svědomí a ve prospěch všech. Nedivme se, že kroky politiků nejsou zdaleka prospěšné pro všechny, že jsou veřejné zakázky předražené a že jejich zákony nás příliš omezují a šikanují. Namísto toho hledejme způsoby, jak omezit možnosti politiků zasahovat do našich životů. Může se sice nakrásně stát, že nějaká regulace bude ve váš prospěch a daňové výnosy půjdou přesně na ty účely, které jsou pro vás užitečné. Tak to může být dnes, ale zítra může nastat opak. A pak už může být pozdě s tím něco dělat.